Sudoku difficile : les techniques nécessaires quand les bases ne suffisent plus
Paires cachées, paires pointantes, X-Wing, chaînes forcées et une méthode pour les blocages. Les techniques qui viennent à bout d'une grille à 26 indices, sans jargon.
Il y a un moment dans la vie de tout amateur de sudoku qui se reconnaît tout de suite : les grilles faciles se résolvent sans réfléchir, les moyennes prennent un moment, et les difficiles bloquent toujours au même endroit. Tu remplis vingt cases d'un coup, et soudain il n'y a plus une seule case que tu puisses poser avec certitude.
Ce point n'est pas un manque de pratique. C'est que les techniques que tu connais sont épuisées.
Cet article traite de celles qui viennent ensuite. Si le candidat unique et le balayage croisé ne sont pas encore acquis, commence par le guide pas à pas ; ceci est l'échelon suivant.
D'abord : annote correctement, sinon rien de tout ceci ne marche
Toutes les techniques ci-dessous s'appliquent aux candidats annotés, pas à la grille nue. Et mal annoter est la première cause qui rend une grille difficile impossible.
Deux règles :
N'annote pas tout. Remplir les candidats des 81 cases dès le départ donne une grille illisible où rien ne ressort. N'annote que là où tu es descendu à deux ou trois possibilités.
Mets à jour en posant. Chaque chiffre posé invalide des candidats dans sa ligne, sa colonne et son bloc. Si tu ne les barres pas à ce moment-là, une demi-heure plus tard tu raisonneras sur des informations fausses — et cette erreur ne se signale pas, elle se propage.
1. Les paires cachées
Tu connais déjà les paires nues : deux cases d'une même unité dont les seuls candidats sont la même paire, disons {4,9}. Cela permet d'effacer le 4 et le 9 du reste de l'unité.
La paire cachée est la même idée à l'envers, et c'est pour cela qu'on la manque bien plus souvent.
Cherche deux chiffres qui, dans une unité, ne peuvent aller que dans les deux mêmes cases. Peu importe que ces cases portent aussi d'autres candidats. Si le 3 et le 7 ne tiennent que dans les cases A et B de ce bloc, alors A et B sont le 3 et le 7 dans un ordre ou l'autre, et tous les autres candidats de A et B peuvent être effacés.
La différence pratique : la paire nue se repère en regardant les cases, la paire cachée en regardant les chiffres. Et comme presque personne ne fait cette seconde passe, c'est la technique qui débloque le plus souvent une grille qui semblait morte.
Cela marche aussi avec des triplets, plus durs à voir : trois chiffres qui ne tiennent que dans trois cases.
2. Les paires pointantes
Plus simple à appliquer que son nom ne le laisse croire.
Regarde un bloc et choisis un chiffre qui n'y est pas encore placé. Si toutes les cases où ce chiffre pourrait aller dans le bloc sont sur la même ligne, alors ce chiffre est sur cette ligne, à l'intérieur de ce bloc, même si tu ignores dans quelle case.
D'où la déduction : ce chiffre ne peut être nulle part ailleurs sur cette ligne, hors du bloc. Barre-le.
Idem avec les colonnes. C'est l'une des techniques au meilleur rendement pour le peu qu'elle coûte à chercher : choisis un chiffre, parcours les blocs, et vérifie si ses candidats sont alignés.
3. Réduction bloc/ligne
L'inverse de la précédente, et souvent oubliée.
Regarde une ligne et choisis un chiffre. Si toutes les cases où il peut aller sur cette ligne sont dans un même bloc, alors ce chiffre est dans ce bloc, et tu peux l'effacer du reste du bloc.
Les deux vont ensemble : quand tu trouves un alignement entre un bloc et une ligne, vérifie toujours les deux sens avant de passer. Une fois sur deux, le second donne aussi quelque chose.
4. Le X-Wing
Nom impressionnant, logique simple. C'est la première des techniques vraiment avancées, et elle résout beaucoup de grilles qui semblent exiger de deviner.
Cherche un chiffre — disons le 5 — qui, dans deux lignes différentes, ne peut aller que dans les deux mêmes colonnes.
col B col F
ligne 2 [5?] ...... [5?]
ligne 7 [5?] ...... [5?]Les quatre cases forment un rectangle. Et voici le raisonnement : le 5 de la ligne 2 est en B ou en F. Celui de la ligne 7 aussi. Mais ils ne peuvent pas être tous les deux dans la même colonne, sinon cette colonne aurait deux cinq.
Donc : soit en B2 et F7, soit en F2 et B7. Dans les deux cas, les colonnes B et F ont déjà leur 5 dans ce rectangle. Tu peux effacer le 5 de toutes les autres cases des colonnes B et F.
Cela marche pareil en partant des colonnes pour éliminer dans les lignes. C'est difficile à repérer la première fois puis cela vient vite : cherche les chiffres à exactement deux candidats sur une ligne, et vérifie si une autre ligne a les deux mêmes.
5. Les chaînes forcées, en dernier recours
Quand il ne reste plus rien, on peut raisonner ainsi : « supposons que cette case soit un 4 ». Suis les conséquences forcées aussi loin qu'elles vont. Si elles mènent à une contradiction — une ligne avec deux chiffres identiques, une case sans candidat —, alors ce n'était pas un 4, et tu viens de résoudre la case.
Ce n'est pas deviner, même si cela y ressemble. Deviner, c'est poser un chiffre et continuer. Ceci est une démonstration par l'absurde : tu ne poses quelque chose qu'après avoir prouvé que l'alternative est impossible.
Deux avertissements :
- Fais-le de tête ou au crayon très léger. Si tu écris la chaîne sur la grille et qu'il n'y avait pas de contradiction, il faut tout défaire et il est facile d'en oublier un bout.
- Pars de cases à deux candidats. Avec trois, les branches se multiplient et on se perd.
Dans une grille bien construite de difficulté raisonnable, cela ne sert presque jamais. Si tu recours aux chaînes dans une grille « moyenne », tu as probablement manqué une paire cachée.
Une méthode pour les blocages
Plus utile que n'importe quelle technique isolée : que faire quand on ne voit rien. Un ordre fixe, pour ne pas tourner en rond.
- Revois les unités presque pleines. Lignes, colonnes et blocs à qui il manque une ou deux cases. C'est ce qu'on néglige en premier après avoir posé plusieurs chiffres d'affilée.
- Change de question. Si tu te demandes depuis un moment « qu'est-ce qui va dans cette case », passe à « où peut aller ce chiffre » et parcours les neuf. La plupart des blocages sont de perspective, pas de difficulté.
- Cherche les paires cachées, chiffre par chiffre, unité par unité. C'est là que la solution apparaît neuf fois sur dix.
- Cherche les alignements bloc↔ligne dans les deux sens.
- Cherche un X-Wing parmi les chiffres à peu de candidats.
- Et seulement alors, une chaîne forcée depuis une case à deux candidats.
Si tu as fait les six et que cela ne sort toujours pas, vérifie si tu as commis une erreur avant. Dans une grille à solution unique vérifiée, un blocage total signifie presque toujours qu'un chiffre est mal posé vingt coups plus tôt.
Une note sur la difficulté
On mesure d'habitude la difficulté au nombre d'indices de départ : 40 en facile, 32 en moyen, 26 en difficile. C'est la convention, et elle est approximative.
Ce qui détermine vraiment la dureté d'une grille n'est pas le nombre d'indices, mais les techniques qu'elle exige et leur répartition. Une grille de 30 indices mal répartis peut réclamer un X-Wing ; une de 26 peut tomber au candidat unique. C'est pourquoi il y a des grilles « faciles » qui bloquent et des « difficiles » qui s'effondrent d'un coup.
Ce qui doit toujours être garanti, c'est que la solution soit unique. Si à un moment tu dois choisir entre deux options également valables sans contradiction possible, le problème n'est pas toi : la grille est mal construite. Dans nos sudokus, c'est vérifié un par un à la génération, et de même pour ceux à imprimer.
Si tu veux savoir d'où vient tout cela, l'histoire du sudoku vaut le détour : il a été inventé par un architecte de l'Indiana, pas par un Japonais.